19世纪末至20世纪初，当切比雪夫（П. Л. Чебышев, 1821—1894）、马尔科夫（А. А. Марков, 1856—1922）的一系列创造性工作使西欧数学界感到震惊之际[注①：切比雪夫和马尔科夫的数学工作，可参阅笔者撰写的《彼得堡数学学派的奠基人》和《彼得堡数学学派的中坚》，两文分别见本公号2022年11月18日和11月24日]，又一位数学家为俄罗斯增添了光彩：他在动力系统稳定性理论和旋转液团平衡理论方面的工作，堪与当时最伟大的数学家彭加勒（Henri Poincaré, 1854—1912）媲美，他在概率论、微分方程和势论等领域也做出了杰出的贡献，这个人就是彼得堡数学学派的健将亚历山大·米哈伊洛维奇·李雅普诺夫（Александр Михайлович Ляпунов, 1857—1918）。
俄国数学家亚历山大·米哈伊洛维奇·李雅普诺夫早年岁月当非欧几何的奠基人罗巴切夫斯基（Н. Лобачевский, 1792—1856）被任命为喀山大学校长的时候，本文主人公的祖父正在那里当会计。这个普通职员的众多子女中有三人特别受到命运的垂青：长子维克多日后成了苏联科学院院士克雷洛夫（А. Н. Крылов, 1863—1945）的外祖父；幼女叶卡捷琳娜嫁给生物学家P. M.谢切诺夫，此人的哥哥И. М. 谢切诺夫（И. М. Сеченов, 1829—1905）被人称为俄国生理学之父；还有一个儿子就是本文主人公的父亲米哈依尔·瓦西里耶维奇，他1839年毕业于喀山大学，随后留在该校天文台工作，1856年应聘成为雅罗斯拉夫一所高级中学的校长。雅罗斯拉夫，这座以11世纪基铺大公命名的古城，南面莫斯科，西北连接雷宾斯克的大湖区，从17世纪以来就成了伏尔加河上游的重要商埠。米哈伊尔主持的捷米多夫斯基高级中学是当地的最高学府。他治校有方，颇得人望。翌年6月6日，他的妻子索菲亚生下一个男孩，这就是A. M. 李雅普诺夫。李雅普诺夫从父亲那里接受科学的启蒙，这位曾在喀山大学天文台工作的人经常向爱子讲授宇宙的奥秘：太阳是一个巨大的燃烧的球，地球是一团又粘又烫的旋转体，月亮就是从它上面甩脱出来的。这些奇妙的知识在李雅普诺夫幼小的心灵留下终身难忘的印象。但是好景不长，父亲在他七岁那年双目失明，只好辞去职务，全家迁居到母亲在西姆比尔斯克的乡下老家去。又过了四年，父亲去世了，姑妈叶卡捷琳娜看到母亲艰难地带着三个孩子生活，就把11岁的李雅普诺夫带到自己家中抚养。这是后来被命名为谢切诺夫村的一个贵族庄园，姑父十分喜欢妻子领养的这个俊秀内侄，让他与自己的女儿娜塔莉娅一同学习、玩耍。青梅竹马，两小无猜，若干年后他们结为伉俪，而且爱得极深。在姑妈家里，李雅普诺夫还经常见到新当选为俄罗斯科学院通讯院士的И. М. 谢切诺夫。在以后的学术生涯中，他与这个年龄和专业都相差悬殊的生理学家结下了深厚的友谊。1870年，母亲带着两个弟弟搬到了下诺夫哥罗德[注②：1932年后一度改名为高尔基市，1990年恢复原名]，同时领回了李雅普诺夫。从未进过中学的李雅普诺夫插班进入三年级，但他仍然感到课程太轻松了，许多知识在姑妈的庄园里已经学过，因此有大量时间来阅读文学、历史和自然科学方面的作品。1876年他获得金质奖章从中学毕业。同一年李雅普诺夫考入彼得堡大学，当时该校仅有文史、法律、东方语言和数学物理四个系。他先在数学物理系的自然科学专业注册，常去听化学教授门捷列夫（Д. И. Менделеев, 1834—1907）的课。但是不过一个月，他就感到数学的抽象性和严密性更适合自己的口味，于是毅然转到数学专业来上课。幸遇良师经过切比雪夫近30年的耕耘，此时彼得堡大学的数学声名已远播俄国与欧洲大陆，许多有才能的数学家都被吸引到这里来。他们当中有科尔金（А. Н.Коркин, 1837—1908）、佐洛塔廖夫（Е. И. Золотарёв, 1847—1878）这样的中青年教师，也有索霍茨基（Ю. В. Сохоцкий, 1842—1929）、波瑟（К. А. Поссе, 1847—1928）这样的研究生，才华出众的马尔科夫则是三年级的学生。李雅普诺夫偏爱力学，指导他的博贝廖夫（Д. К. Бобылёв, 1842—1917）是一位出色的力学家。李雅普诺夫后来在纪念博贝廖夫的讲演中说道：“差不多四十多年来，我都记得那位已经逝世、在大学毕业后最初几年作为我的导师的博贝廖夫教授……感谢他经常在百忙中抽出时间审查我青涩的文章。他是一个淳朴而富有高贵气质的学者。当我在阅读某些著作遇到困难时，他总是非常细心地向我详加解释。”（[6]，译文略有修改）大学的后两年对于李雅普诺夫来说特别艰辛，压力并非来自学业而来自生活。慈母于1879年去世了，两个弟弟一个刚考入音乐学院、一个尚未成年，李雅普诺夫只好把小弟弟鲍里斯接到彼得堡，借住在姑父一个寡居的姐姐家里。恰好И. М. 谢切诺夫也是这所房子的常客，他提议由李雅普诺夫为他本人讲授基础数学，作为报酬由他支付兄弟两人的食宿费用。李雅普诺夫非常满意这笔交易，除了给令人尊敬的长辈讲一些数学知识外，他还经常出席谢切诺夫及其学生们组织的郊游和读书会。谢切诺夫也鼓励他，要想在科学上取得辉煌成就，就要有百折不挠的勇气和坚韧不拔的毅力。就这样，李雅普诺夫一面为自己和弟弟的生计操劳，一面准备着毕业论文。在博贝廖夫的指导下，他撰写的关于流体静力学的论文获得系里的奖金。在此基础上他完成了《重物在固定形状容器中的平衡问题》和《液体静压的势问题》两文，于1881年发表在《俄国物理化学学会通讯上》上。1880年李雅普诺夫以优异成绩从大学毕业，根据博贝廖夫的建议被留在力学教研室工作。从某种意义上来说，力学是一门令人生畏的专业，古往今来，只有阿基米德（Archimedes, 287—212 BC）和牛顿（Newton, 1642—1727）那样的巨匠才能同时在数学和力学领域建立辉煌业绩。李雅普诺夫用两年时间通过了硕士课程考试，但是论文选题却迟迟未定，为此他去请教“大主教”切比雪夫。关于这件事，他后来在题为《关于天体形状》的著名讲演中曾有详细的叙述，内中提到：“1882年，为了选择硕士论文题目，我不止一次同切比雪夫交谈各种数学问题，而他总是阐述这样一种观点，即对于已经准备献身数学的所有年轻学者来说，那些虽然看似时髦、但是却能用众所周知的方法解决的题目是不值得光顾的，而应该把精力倾注到某些重大的、并且具有公认的理论困难的课题上。接着他就向我建议了如下的课题：人们已经知道，在角速度的某种影响下，椭球体不再是旋转液团的平衡形状；问题是，此时它们是否转变为某种新的平衡状态，这些形状在角速度略微增大时稍与椭球有所不同？他又进一步说：如果解决了这个问题，你的工作就会立即引起世人瞩目。”（[1]，стр. 13）踌躇满志的李雅普诺夫还不知道，“大主教”以前也向佐洛塔廖夫、柯瓦列夫斯卡娅（С. В. Ковалевская, 1850—1891）等人提出过同一问题，而这些赫赫有名的学者都未能啃动这粒坚果。他陷入旷日持久的胶着战，在一年半的时间里绞尽脑汁也未能获得进展。当他向切比雪夫汇报自己尝试的种种方法以及遇到的困难时，连问题的提出者也感到吃惊。看来要在短期内攻克这一难题是不可能的了。就此李雅普诺夫总结道：“经过若干次一无所得的尝试之后，我觉得应该暂时把这个问题搁置一段时间了。但是对它的思考却把我引向另一问题，即椭球状旋转液团平衡形态的稳定性，于是我决定以后者作为硕士论文的研究题材。”（[1]，стр. 13）论文于1884年完成，翌年1月正式通过了答辩。两位教授博贝廖夫和炮兵学院的布达耶夫（Н. С. Будаев）是论驳者。尽管与切比雪夫原来的问题相比，这篇论文仅仅讨论了一个特殊情况，但是它的价值很快得到国内外同行的承认。同年李雅普诺夫被任命为讲师，转年英国《天文学公报》刊出了论文的摘要。若干年后，这篇论文还被完整地译成法文发表在《图卢兹大学学报》上。与其他才华出众的青年数学家相比，李雅普诺夫为硕士学位付出了较多的时间和精力，但他对此终身不悔。相反，他由衷地感谢引导他从事力学研究的博贝廖夫，感谢向他提出一个如此困难的问题的切比雪夫，认为“切比雪夫以他的谈话和见解根本性地影响了我一生科学工作的方向。”别开生面1885年秋天，李雅普诺夫接受哈尔科夫大学的邀请，以讲师的身份主持该校的力学课程。哈尔科夫是乌克兰第二大城市，哈尔科夫大学是乌克兰的第一所高等学府。数学家和著名的唯物论者奥西波夫斯基（Т. Ф. Осиповский, 1765—1832）曾担任该校校长，指导过切比雪夫的奥斯特洛格拉德斯基（М. В. Острогадрский, 1801—1862）也曾在此求学。李雅普诺夫来到之前，力学讲座由伊姆汉涅茨基（В. Г. Имшенецкий, 1832—1894）主持，后者于1881年被选为彼得堡科学院院士后，这个职位就一直空缺着。当时沙皇政府刚通过了一个针对大学中进步势力的议案，国民教育大臣杰里亚诺夫是这一措施的忠实执行者，鼓吹“要以宗教真理尊重财产所有权，以及用遵守社会秩序的根本原则去教导青年”。哈尔科夫大学一直是乌克兰民主运动和民族主义者活动的大本营，因此学生们对这位新来的俄罗斯教师抱着一种怀疑和敌视的态度。后来成为李雅普诺夫得意门生的斯捷克洛夫（Владимир Андрeевич Стеклов, 1864—1926）回忆道：“众所周知，1884年杰里亚诺夫的反动措施使学校条例遭到破坏。1885年我已是大学三年级的学生，作为1863年条例[注③：指俄国教育部那一年通过的一项关于扩大高校自治权利的条例]的拥护者，与绝大数同学一样，对新秩序抱着极端对立的态度。当同学们得知从彼得堡派来一位新老师，我们立刻断定是那个专谋私利的傀儡集团中的又一可耻庸人。”但是，当同学们看到“一位仪表堂堂的美男子在敬重的老系主任列瓦科夫斯基教授陪同下步入教室”，骚动开始平静下来。“系主任作了简短的介绍之后离开了教室，这位与我们年龄相差无几的年轻人就开始用一种由于激动而略微发颤的声音讲起质点动力学来。其实这门课早已由捷拉尔（Делар）教授讲过，内容对我们来说并不陌生。但是他的讲演一开始，我就听到了自己未曾听过的东西，这是我在所认识的有名望的教师那里从未听到过的。因此当初内心中的敌意立刻烟消云散了。青年人亚历山大·米哈依洛维奇以其未加修饰的魅力，竟然在一个钟头内征服了这批心怀偏见的听众。从那天起，李雅普诺夫在学生中获得了完全特别的威信和地位，我们开始怀着尊敬的心情对待他，一些本来对科学不感兴趣的同学也开始振奋起来了”。（转引自[6]，译文略有修改）直到1890年，力学研究室几乎就是李雅普诺夫一个人唱独角戏：他又要当讲师，又要当助教，还要安排实验和指导学生写论文，就是授课的讲义也是他亲自编写的。即便如此，李雅普诺夫仍然没有忘记运动稳定性的研究，不过他还是没有直接接触切比雪夫提出的旋转液团平衡形状的稳定性问题，而是先对具有有限个自由度的力学系统的平衡形状的稳定性进行了研究。
这一问题来源于18世纪天文学家对太阳系运动规律的探索，拉格朗日 （J. L. Lagrange, 1736—1813）和后来的狄里赫莱（P. L. Dirichlet, 1805—1859）都曾致力于此。从数学上来说，这一问题就是要根据一个微分方程组的结构来研究解的性质或确定其曲线的分布。1888年，李雅普诺夫以《具有有限个自由度的力学系统的稳定性》一文揭开了这场攻坚战的序幕，随后陆续发表了《刚体在液体中的正规螺旋运动》、《具有周期系数的二阶线性微分方程理论中的一个系列》等文。最重要的工作则集中在博士论文《运动稳定性的一般问题》中。这篇论文于1892年9月在莫斯科大学通过答辩，论驳者是茹科夫斯基（Н. Е. Жуковский, 1847—1921）和姆洛捷耶夫斯基（В. Б. Млодзеевский）。答辩获得巨大成功，评委们一致高度评价李雅普诺夫在常微分方程定性理论方面做出的开创性贡献。如同硕士论文一样，这篇文章也被全部译成法文登载在《图鲁兹大学学报》上。
假定上述方程组的右边是关于诸xk的幂级数且没有自由项，很容易看出存在零解xk=0。在李雅普诺夫意义下，零解稳定性就是在半轴t≥t0上关于初始数据的稳定性；换言之，李雅普诺夫意义的稳定性要求对满足t≥t0的解xk(t)，其初始数据xk(t0)的绝对值充分小时，其本身的绝对值也充分小。当相应的微分方程组可积时，判断稳定性并不困难，然而动力系统中的微分方程往往是不可积的，于是只好引入近似方法，包括茹可夫斯基在内的一些学者都曾考虑过，把方程组的右端换成幂级数展开式的线性部分，这样问题就归结为一个线性方程组的稳定性。但是用线性系统来代替给定的动力学系统是否有效、什么情况下有效都是不清楚的。彭加勒在1881—1886年期间，以《微分方程所确定的曲线》为题考虑了二阶和部分三阶系统的情况，这可以说是李雅普诺夫之外寻求该问题精确解答的唯一尝试。为了彻底解决这一问题，李雅普诺夫创立了两种著名的方法，其中第二种已成为稳定性研究中的基本方法，其关键是找出某个依赖于t、xk的所谓李雅普诺夫函数，根据这类函数的稳定性去判断解的稳定性。利用这种方法，他在最一般的假定下解决了一次近似可以成为稳定性问题之解的条件问题。他还用这种方法检验了那些特别具有实际背景的系统，如方程组右端展开式的系数为常数或具有相同周期的函数系统。对于前者，如果特征方程（一个n次代数式）的根都具有负实部，则原系统的解是稳定的；若有一个根具有正的实部，则原系统是不稳定的；如果不存在具有正实部的根却有实部为零的根，此时就不能利用一次近似来替换。对于后者，他论证了可能存在两种特别值得注意的情况，即特征方程有一个根为1及一对共轭虚根的模为1的实例。就这样，李雅普诺夫与彭加勒同时完成了常微分方程定性理论的奠基性工作，但是他们两人考虑问题的出发点和使用的方法是截然不同的：李雅普诺夫主要考虑解的性质，方法则纯属分析式的；彭加勒主要考虑方程所对应的曲线分布，广泛使用拓扑方法。从某种意义上讲，他们的工作都是超越时代的。因此在以后一段相当长的时间内，除了美国数学家伯克霍夫（G. D. Birkhoff, 1884—1944）在彭加勒工作的基础上发展了有关理论之外，关于定性理论的研究一度保持着沉寂的局面。然而20世纪30年代以来，随着现代物理和工程技术的飞速发展，定性理论成了微分方程领域一个最热门的话题，李雅普诺夫的经典性工作也日益显出巨大的意义。获得博士学位的第二年，即1893年，李雅普诺夫晋升为教授。除了负担繁重的教学任务之外，他还特别关心地方的数学教育和普及工作。从1893年起他就担任了哈尔科夫数学学会副主席，1899年起任主席兼会刊主编，他亲自为会刊撰稿，他的一些重要论文就是在《哈尔科夫数学会通报》上发表的。在他的指导下，哈尔科夫很快发展成沙俄帝国的又一数学重镇，这里的数学物理特别引人注目。谈到数学物理，还应提起李雅普诺夫在势论方面的工作。还在1885年初，李雅普诺夫就考虑在彼得堡大学开设势论课程，只是由于去哈尔科夫就职未能实现。他到哈尔科夫的第二年就发表了两篇有关拉普拉斯（P. S. Laplace, 1749—1827）方程边界值的论文。最重要的工作是1897年的《有关狄里赫莱问题的某些问题》，在这里他首次对单层势和双层势的若干基本性质进行了严格的分析，指出在给定范围内狄里赫莱问题解的若干充要条件，这一研究奠定了解决边界问题的经典方法的基础。从1886年至1902年，李雅普诺夫共发表了7篇势论方面的文章，它们当中深刻新颖的思想成了一些后来者，特别是斯捷克洛夫工作的出发点。李雅普诺夫在哈尔科夫的最后一项工作与概率论有关，虽然只有两篇论文，但是在概率论发展史中的作用却几乎是具有化时代意义的。早在大学三、四年级的时候，李雅普诺夫就系统地听过切比雪夫的概率论课，对老师当年讲到极限定理证明时的一段话有着深刻的印象：“我们在证明时作了种种假设，但是却未能估计出由此产生的误差，因而我们的结论是不严密的。然而直到眼下，我们还无法采用任何令人满意的数学手段来证明这些结论。”要想理解切比雪夫这段话的内涵，就需对概率论古典极限定理的历史作一简要回顾。
所谓特征函数方法，就是对每一个随机变数X[或其分布函数F(X)]做一个傅里叶变换，得到一个实变数的复值函数；在这样的变化下，互相独立的随机变数和的特征函数刚好是各加项的特征函数的乘积：向左滑动查看完整公式这样就为研究独立随机变数和的极限分布提供了一个简便有力的工具。因为独立随机变数和的分布是各加项的分布的卷积，而在加项数目趋于无穷的场合，对卷积作数学处理是比较困难的，为此切比雪夫和马尔科夫才设法通过矩来考察一般规律，只是矩方法损失的信息过多。特征函数方法则保留了随机变数分布规律的全部信息，同时提供了特征函数的收敛性与分布函数的收敛性质之间一一对应的关系，因而这一方法一经引入，就使独立随机变数和弱极限理论获得迅猛进展的可能。若干年后，两位瑞典数学家克莱梅（Harald Cramér, 1893—1985）和艾森（C. G. Essen）对李雅普诺夫估值法的精确化作了很好的工作，苏联数学家伯恩施坦（C.Н.Бернштейн, 1880—1968）和林尼克（Ю. В. Линник, 1915—1972）也对李雅普诺夫的方法作了极大的推广，进一步的发展则导致辛钦（А. Я. Хинчин, 1894—1959）、格涅坚科（Б. В. Гнеденко, 1911—1995）等人现代极限理论的蓬勃发展。
1900年，李雅普诺夫以其多方面的成就当选为彼得堡科学院通讯院士，转年晋升为院士并兼任数学学部主任；这个位置自1894年切比雪夫去世以来一直空缺，为此李雅普诺夫不得不告别生活工作了17年的哈尔科夫而到彼得堡赴任。大学的师生们都有些依依不舍，布泽斯库尔（В. П. Бузескул）教授代表大家说出了产生这种感情的原因：“李雅普诺夫是属于那些形成大学真正灵魂的教授们之列的，学校因这些人而存在和繁荣，他们给同事们带来榜样。一切低俗的东西对他来说都是格格不入的，他总是沉醉在科学幻想之中”。([5], стр. 117)
关于缓慢旋转的非均匀液团的平衡态问题，最早的研究属于18世纪法国数学家克莱罗（A. C. Clairaut, 1713—1765）。他把这类液团看成是由不同的旋转椭圆面所组成的，所用方法是近似的。后来他的同胞拉普拉斯提出了一种依赖于球函数级数展开式的方法，但是还遗留着一个收敛性的尾巴未曾解决，这就是李雅普诺夫信中所指的“疑团”。信中提到的“一本小册子”当年就完成了，这就是《关于天体形状的理论探索》，书中证明了存在着近似于球体的这类条件下的平衡形状，并将问题化为某类积分-微分方程组的解，而以克莱罗方程作为自己理论体系的第一步近似。第二年他又在《关于行星形状理论中的克莱罗方程及其推广》中继续研究了这类积分-微分方程，证明其中的每一个方程都有一个满足于某项自然条件的定解。1915年，李雅普诺夫再次把注意力转移到非均匀旋转液团这一课题上来，在他逝世后被发现的遗稿《非均匀旋转液团的某些平衡形状》中，人们发现他已经证明任何非分叉的麦克劳林椭球或雅可比椭球都可能演化成新的平衡形状，他们与原来的形状相近并保持角速度不变，密度则呈弱变化。
椭球状或近似于椭球状的旋转液团的平衡问题源于天体力学。根据万有引力定律，牛顿提出包括地球在内的众多行星的早期都是一种在旋转轴方向上偏离的旋转椭球体。他在18世纪的继承人麦克劳林（Colin Maclaurin, 1698—1746）首先严格论证了这一假说，从此这类椭球便被公认为均匀旋转液团的一种可能平衡形状。1834年，德国数学家雅可比（C. G. J. Jacobi, 1804—1815）证明了三个半轴都不同的椭球体也可能是一种均匀旋转液团的平衡形状。1874年，柯瓦列夫斯卡娅又在关于土星环的研究中阐述了环状的平衡形态。1885年，彭加勒用统一的方法综合上述成果，指出均匀旋转液团必定存在着多种不同形式的平衡形态，其中一种可能的形状是与椭球体近似的分叉梨状体；他还进一步推测，这种体系演化的结果可能是一大一小两个互相环绕旋转天体的平衡状态。1902年，著名生物学家查尔斯·达尔文的次子乔治·达尔文（George Howard Darwin, 1845—1912）根据彭加勒这一未经证明的猜测，在假定梨状体稳定的前提下解释了地球-月球系统的成因。
第三篇与G. H. 达尔文1902年发表的《从一个旋转液团分出二体理论解释双星起源》一文有关。按照李雅普诺夫的研究，旋转液团在某一阶段具有的近似于椭球体的梨状形态是不稳定的，它将很快地恢复成椭球状，这一点与G. H. 达尔文的前提刚好相反，因此两位学者和他们各自的支持者之间展开了一场长达数年的论战。直到1917年，G. H. 达尔文的学生、英国天体物理学家金斯（James Hopwood Jeans, 1877—1946）验证了双方的结果，宣告G. H. 达尔文的计算有误，这场学术上的风波才告平息。
20世纪初叶的俄国、沙皇专制统治已濒临崩溃，进步的知识分子纷纷投身于民主运动的潮流，李雅普诺夫也不例外。1905年1月20日，他在一份抨击沙皇政府的教育制度、要求改革教育现状的宣言上签下了自己的名字。1915年当莫斯科大学的涅克拉索夫（П. А. Некрасов）教授提出要在中学开设概率论以培养学生的宗教感情时，他与马尔科夫一道对这一荒谬的提议进行了尖锐的批判。
[1] А. М. Лукомская, Александр Михайлович Ляпунов, Издательство АН СССР, 1953.[2] В. П. Цесевич, А. М. Ляпунов, Издательство Знани, Москва, 1970.[3] И. З. Штокало, История Отечественной Математики, Издательства Науква Думка, Киев, 1967.[4]C. C. Gillispie, Dictionary of Scientific Biography, Vol. 8, New York: Scribner’s Sons, 1971.[5]В. П. Бузескуд, Александр Михайлович Ляпунов и Харьковский Университет 80-Годов, Учен. Зал., Выс., щк., Отд, гуманит-обществ. Наук, том. 2, 1922.[6]B. И. 斯米尔诺夫：“亚历山大•米哈伊诺维奇•李雅普诺夫传略”，《中学数学》（华南师院），1957年第2期。
