圆锥的体积为什么不是等底等高的圆柱体积的二分之一？
圆锥的体积为什么不是等底等高的圆柱体积的二分之一？
说理明师之道欢迎您在教学圆锥的体积时，学生基于对三角形和长方形面积之间的关系的认知，凭直觉、凭经验他们总会误以为圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的。
具体问题如下:长方形以长为轴旋转可得到一个圆柱（如图1），它的一半（直角三角形）以直角边为轴旋转一周可得到一个圆锥（如图2）。
为什么三角形的面积是长方形面积的，而圆锥的体积却不是圆柱的？可能很多人也有同样的疑惑，为什么看似有理有据的推理得到的却是非正确的结论呢？首先这里运用的是类比推理，而类比推理虽然有助于迁移知识发现问题，但它得到的结论却不一定可靠。
比如，下面例1从等底等高的直柱体体积相等推出倍底等高的直柱体的体积成相应倍数关系这个推论是正确的。
例1：一个直柱体底面如图3的长方形，另一直柱体底面如图4的直角三角形，它们的高都为h，因为柱体3的底面积是柱体4的2倍，所以柱体3（长方体）的体积是柱体4（三棱柱）的2倍。
例2：图5的长方形面积是图6长方形的2倍（底面半径不变，高是原来的2倍），则柱体5的体积是柱体6的体积的2倍。
这种情况下面和体的倍数关系是一致的，通过类比得出的结论是成立的。
例3：图7的长方形面积是图8长方形的2倍（高不变，底面半径是原来的2倍），则柱体7的体积是柱体8的体积的4倍（平方倍）。
可见，这种旋转的结果，面和体的倍数关系就不一致，通过这样类比得出的结论就不成立。
例4：如下图9把一个长方形平均分成两个直角三角形，再绕b旋转一周，所得的立体图形体积会相等吗？如果我们做出直角三角形的中位线c如图10，此时中位线c所在截面旋转后形成图形是圆和环，圆和环的面积比是1:3，可见距离旋转轴越远面积越大。
同样，图形旋转后的体积也与它和旋转轴的距离有关，如图10的△1和△2虽然是完全相同的图形，但是△2离旋转轴比△1远，所以旋转后所得图形的体积也越大，因此圆锥体积肯定不足等底等高的圆柱的。
由此可见，面动成体，有多种情况，面动成体的方式，决定了所成立体图形的体积与面的大小的关联度。
其次面和体不是同类量，不能简单地进行类比推理。
因为面积和体积有一定关联，大家由面的倍数关系类推出到体的倍数关系，这里面有着类比的思想，似乎有一定的合理性。
但是，结合具体情况看，这样的类推却是不成立的。
我们再来观察一组有关正方体长度、面积、体积的数据：从上表的数据中可以看出，上面每两个正方体之间底面积的比分别是1:4,4:9,9:16……；体积的比分别是1:8,8:27,27:64……它们底面积的倍数关系并不等于体积的倍数关系。
以上数据证明面积和体积是不同类量，它们的计算方法、计量单位均不相同，所以两者之间并不存在相等的倍数关系。
同样，棱长和面积、棱长和体积也是不同类量，它们之间也不存在相等的倍数关系。
数学上像这样的例子还有很多，如：两个圆半径的倍数关系不等于它们的面积的倍数关系，这还是因为长度和面积不是同类量。
因此，我们不能根据三角形的面积是长方形面积的，就类推出由它们旋转而成的圆锥的体积是圆柱体积的。
最后面不是决定体积的大小的唯一因素。
长方形以长为轴，旋转一周得到的立体图形是圆柱，但是当它仅旋转180°时，此时得到的立体图形的体积只有圆柱的一半；如果仅旋转90°，那么所得立体图形的体积就只有圆柱体积的。
由此可见，由一个平面图形旋转得出立体图形的大小，除了与平面图形的大小有关，还与旋转的角度有关，与平面所经过的距离有关。
我们知道圆柱的体积=底面积×高，根据公式也可以看出立体图形的体积并不只由一个面的大小决定的。
这也可以说明仅凭一个面的倍数关系要类推出立体图形的体积是不恰当的。
在小学阶段，由于学生的知识储备比较有限，我们只能通过实验操作这种存在一定误差，看似不太严密的方法进行探索，从而得出圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的。
随着知识的增加，今后我们还能用积分等方法更严谨地推导出圆锥体积等于等底等高圆锥体积的这一结论。
以上是笔者对这个问题的粗浅看法，敬请同行批评指正！作者简介邹瑞荣，高级教师，福建学科教学带头人，现任教于龙溪师范学校附属小学。
- END -
